Atividade 5: Vinte Palpites — Teoria da Informação

Apresentação

Quanta informação existe em 1.000 páginas de livro ? Existe mais informação em 1.000 páginas de uma lista telefônica, ou em uma resma de 1.000 folhas de papel em branco, ou no livro Senhor dos Anéis de Tolkien ? Se podemos mensurar isto, podemos estimar quanto espaço é necessário para armazenar a informação. Por exemplo, você consegue ler a seguinte frase?

Você consegue, provavelmente, porque não há muitas “informações” nas vogais. Esta atividade introduz uma forma de mensurar o conteúdo da informação.

Disciplinas e conteúdos relacionados

• Matemática: Números, Ordenação, Maior ou menor;

• Computação: Qualidade da informação, Busca de dados.

Habilidades

• (EF02MA01) Comparar e ordenar números naturais (até a ordem de centenas) pela compreensão de características do sistema de numeração decimal (valor posicional e função do zero);

• (EF02MA08) Resolver e elaborar problemas envolvendo dobro, metade, triplo e terça parte, com o suporte de imagens ou material manipulável, utilizando estratégias pessoais;

• (EF03MA01) Ler, escrever e comparar números naturais de até a ordem de unidade de milhar, estabelecendo relações entre os registros numéricos e em língua materna;

• (EF04MA01) Ler, escrever e ordenar números naturais até a ordem de dezenas de milhar;

• (EF05MA01) Ler, escrever e ordenar números naturais até a ordem das centenas de milhar com compreensão das principais características do sistema de numeração decimal.

Nível de Ensino

• Anos Iniciais do Ensino Fundamental.

Material

• Não são necessários quaisquer materiais para a primeira atividade.

Há uma atividade de extensão para a qual cada criança precisará de:

• Folha de Atividade: Árvores de Decisão

Vinte Palpites

Discussão

1. Discuta com as crianças o que elas acham que é informação.

2. Como podemos medir a quantidade de informação que haveria em um livro? O importante é o número de páginas ou de palavras? Um livro pode ter mais informações do que outro? E se o livro for muito chato ou for particularmente interessante? Será que 400 páginas de um livro com a frase “blá, blá, blá” tem mais ou menos informação do que, por exemplo, a lista telefônica?

Explique que os cientistas da computação mensuram a informação por quão surpreendente a mensagem (ou livro!) é. Falar para você algo que você já sabe — por exemplo, quando um amigo que sempre caminha para a escola diz “Hoje caminhei para a escola” — não lhe fornece qualquer informação, pois não é surpreendente. Se, ao invés disso, seu amigo disser “Hoje peguei uma carona para a escola em um helicóptero”, isso seria surpreendente e, portanto, nos traria uma grande quantidade de informação.

Como o valor de surpresa de uma mensagem pode ser mensurado?

Uma maneira consiste em ver quanto é difícil adivinhar a informação. Se seu amigo diz “Adivinhe como fui à escola hoje”, e ele tivesse caminhado, você provavelmente acertaria na primeira tentativa. Poderia levar mais algumas tentativas antes de você chegar ao helicóptero, e ainda mais se eles tivessem viajado em uma nave espacial.

A quantidade de informação contida nas mensagens é mensurada pela dificuldade em adivinhá-las. O jogo seguinte nos fornece uma ideia disso.

Atividade das Vinte Perguntas

Esta é uma adaptação do jogo das 20 perguntas. As crianças podem fazer perguntas a uma criança escolhida, a qual responde somente sim ou não até que se adivinhe a resposta.

Qualquer pergunta pode ser feita, contanto que a resposta seja estritamente ‘sim’ ou ‘não’.

Sugestões:

Estou pensando em:

• um número entre 1 e 100
• um número entre 1 e 1000
• um número entre 1 e 1.000.000.
• qualquer número inteiro
• uma sequência de 6 números que sigam um padrão (adequado ao grupo). Adivinhe na ordem do primeiro ao último. (por exemplo, 2, 4, 6, 8, 10)

Conte o número de perguntas feitas. Esta é a medida do valor da “Informação”.

Discussão

Quais estratégias você usou ? Quais foram as melhores ?

Ressalte que é preciso apenas 7 palpites para adivinhar um número entre 1 e 100 se você reduzir à metade o intervalo de busca a cada vez. Por exemplo:

• É menor que 50? Sim.

• É menor que 25? Não.

• É menor que 37? Não.

• É menor que 43? Sim.

• É menor que 40? Não.

• É menor que 41? Não.

• Deve ser 42! Sim!

Curiosamente, se o intervalo é aumentado para até 1000 não se requer um esforço 10 vezes maior — são necessárias apenas três perguntas adicionais. Cada vez que o intervalo dobra, somente é necessário uma pergunta a mais para encontrar a resposta. Uma maneira de continuar a atividade seria deixar as crianças jogarem “Senha” (Mastermind) - versão digital aqui.

Extensão: Quanta informação existe em uma mensagem ?

Cientistas da computação não usam somente adivinhações com números — também pode-se adivinhar qual a próxima letra mais provável de ocorrer em uma palavra ou frase.

Faça um jogo de adivinhação com uma frase curta de 4 a 6 palavras. As letras devem ser descobertas na ordem correta, da primeira à última letra. Arranje alguém para escrever as letras encontradas e conte quantas perguntas foram necessárias para encontrar cada letra. Qualquer pergunta cuja resposta seja sim/não pode ser utilizada. Alguns exemplos são: “É um t?”, “Trata-se de uma vogal?”, “Precede m no alfabeto?”. Um espaço entre palavras também conta como uma “letra” e deve ser adivinhada. Faça um revezamento e veja se você consegue descobrir quais partes das mensagens são mais fáceis de adivinhar

Folhas de Atividades e Materiais Adicionais

Você também pode baixar todas as folhas de atividade e materiais adicionais em formato editável aqui.

De que se trata tudo isso?

Um célebre matemático (e também malabarista e monociclista) americano chamado Claude Shannon fez uma série de experimentos com este jogo de perguntas. Ele mensurou a quantidade de informação em bits — cada resposta (sim ou não) equivale a um bit (1 ou 0). Ele descobriu que a quantidade de “informação” contida numa mensagem depende do que você já sabe. Às vezes, perguntamos algo que evita fazer diversas perguntas. Neste caso, o conteúdo da informação é baixo. Por exemplo, a informação no lançamento de uma moeda é normalmente de um bit: cara ou coroa. Entretanto, se a moeda for tendenciosa para mostrar cara em nove vezes de cada dez, então a informação deixa de ser um bit — acredite se quiser, é menos do que um bit. Como você pode descobrir como a moeda caiu com menos de uma pergunta do tipo sim ou não? Simples: basta fazer perguntas como “As próximas duas moedas atiradas serão cara?”. Para uma sequência de lançamentos com uma moeda viciada, a resposta será “sim” cerca de 80% das vezes. Nas outras 20% das vezes, em que a resposta é “não”, você deve fazer duas perguntas adicionais. Porém, em média, você fará menos de uma pergunta por lançamento!

Shannon chamou as informações relativas ao conteúdo de uma mensagem de “entropia”. A entropia depende não apenas do número de resultados possíveis — dois, no caso do lançamento de uma moeda — mas também na probabilidade disso acontecer. Acontecimentos improváveis ou informações surpreendentes requerem mais perguntas para adivinhar a mensagem porque estes nos fornecem mais informações além das quais já sabíamos, como no caso de ir em um helicóptero para a escola.

A entropia de uma mensagem é muito importante para os cientistas da computação. Você não pode comprimir uma mensagem de tal forma que esta ocupe menos espaço do que sua entropia, e os melhores sistemas de compressão são equivalentes a um jogo de adivinhação. Dado que um programa de computador faz os “palpites”, a lista de perguntas pode ser reproduzida posteriormente. Assim, contanto que as respostas (bits) sejam armazenadas, podemos reconstruir a informação! Os melhores sistemas de compressão podem reduzir um arquivo texto até um quarto do seu tamanho original — uma grande economia de espaço de armazenamento!

O método de adivinhação também pode ser usado para construir uma interface de computador que prediz a próxima letra que o usuário digitará! Isto pode ser muito útil para pessoas com problemas físicos que tenham dificuldade em escrever. O computador pode sugerir o que será digitado na sequência e o usuário apenas indica se essa opção é a que ele deseja. Um bom sistema precisa, em média, de apenas duas respostas do tipo sim/não por letra e pode ser de grande ajuda para alguém com dificuldade em realizar os movimentos delicados necessários para controlar um mouse ou teclado. Este tipo de sistema, em uma forma diferente, também é utilizado para “digitar” texto em alguns telefones celulares.

Para saber mais

Indicamos a leitura de um texto da Revista do Professor de Matemática sobre o Método da Bissecção, que usa de modo mais avançado a ideia abordada no jogo de adivinhação.

Soluções e dicas

A resposta para uma pergunta da forma sim/não corresponde a exatamente um bit de informação—seja uma pergunta simples como “É maior do que 50?” ou uma pergunta mais complexa como “Está entre 20 e 60?”.

No jogo de adivinhar o número, se as perguntas são escolhidas de certa maneira, a sequência das respostas é simplesmente a representação binária do número. O número três é 011 em binário e é representado pela resposta “Não, sim, sim” na árvore de decisão, o que equivale a escrevermos não para 0 e sim para 1.

Uma árvore que você usaria para adivinhar a idade de alguém poderia estar melhor dirigida a adivinhar os números menores.

A decisão sobre as letras em uma frase podem se basear sobre qual era a letra anterior.